复利与e(二)（e和复利）

通过了复利的极限运算，我们知道了无理数e的一种定义为：

其值接近于2.718. 那我们继续来看一下等式右边 ， 由于n是整数，那么我们可以对这个式子进行二项式展开。回忆一下二项式展式.

我们说对 进行展开，实际上就是对含x, y的因式的各种组合，而这个组合总个数为n. 比如我们说，在n中取m( m也是整数)个x, 那剩下的（n-m）个只能取y, 而对应的式子便是 其中 我们称之为二项式系数（C代表组合，英文combination），其具体计算为：

其中感叹号“！”表示阶乘运算，是小于等于运算数的所有非负整数的乘积(规定0!=1)，如 3！=3*2*1=6, 5！=5*4*3！=120. 从而n!=n*（n-1）!=n* (n-1) * (n-2)…2*1。 这样：,进而可以理解:

(组合中，取m个x的效果与取n-m个y的效果一样)

理解二项式运算，我们便可以对 进行如下展开：

=+…

这样，我们回头再看表达式 ， 为了便于理解，我们取整数k<n，用k替换n (用k替换n主要是为了说明k是一个中间过程，而不要想当然的认为k为边界值)我们对其进行展开(均是中间过程)，即：

=

=1+1+

=1+1+

当k趋于无穷大时，对上式两边取极限（ ），我们可以得出e的另一个定义，即

规定 0！=1， 则上式可写作：

即

感兴趣的同学也可以用计算器去计算一下(规定0！=1，所以等式右边首个1 可以写成 ).