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首先,傅里叶级数是从周期函数推导出来的:
可以看出其频谱Fn由于其结果函数的任意性,一般不具有周期性。
其频谱是离散谱:
傅里叶变换是对于非周期函数而言,也就是周期T趋于无穷大:
由于其谱线间隔无穷小,因此其频谱是连续的:
由上面的频谱函数可以看出,其频谱不具有周期性。
周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即
其频谱是一个冲击序列,因此也是离散的:
可以看出,由于其频谱中的冲击强度随n的变化而一直变化,因此其频谱一般不具有周期性。
对于周期序列的离散傅里叶级数(DFS):
可以看出,由于 f 离散周期取值,其频谱Cn一般具有周期性质。
对于非周期序列的离散时间傅里叶变换(DTFT):
对于周期序列的离散傅里叶变换(DFT):
其中
四种傅里叶变换的特点和关系:
至于周期函数的傅里叶变换,其时域肯定是连续、周期的,其频域则是离散、非周期的;DFT则可以认为与DFS相同。
简单总结:
1:连续傅里叶级数FS由周期函数得出,对应于离散周期序列的离散傅里叶级数DFS;
2:傅里叶变换FT由非周期函数得出,对应于非周期离散序列的DTFT;
3:周期函数的傅里叶变换对应于周期序列的离散傅里叶变换DFT;
4:周期序列的离散傅里叶变换DFT与离散周期序列的离散傅里叶级数DFS可以认为完全相同。
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