傅里叶变换(DFT)是酉变换的证明

?离散傅里叶变换（DFT）是酉变换的意义在于其满足酉变换的定义，即DFT是一个等距变换，其矩阵是一个酉矩阵（Unitary matrix）。?

酉变换的定义是：一个变换如果保持向量的欧几里得范数不变，则称为酉变换。具体来说，酉变换满足以下条件：

• 酉变换的矩阵是一个单位矩阵，即其共轭转置等于其逆矩阵。
• 酉变换保持向量的长度不变，即对于任意向量 x，有 ∥Ax∥=∥x∥。
• 酉变换保持向量的内积不变，即

其中 A 是酉变换的矩阵，xH 表示 x 的共轭转置?。

其中

傅里叶变换矩阵为：

酉矩阵的定义：

下面证明傅里叶矩阵是酉矩阵，即要证明

其中矩阵F*表示F的共轭转置矩阵。

而

离散傅里叶变换矩阵的圆周分布：

因此DFT矩阵是正交矩阵。正交矩阵的逆等于其共轭转置，满足酉矩阵的定义?。