无论是Facebook、Google、Microsoft，还是百度、阿里、腾讯……每年大厂面试时总会考察动态规划问题。而作为动态规划类问题中非常重要的一个类别——背包问题，慢慢地走到了舞台中央成为面试高频题中的“佼佼者”。

背包问题的一个例子：应该选择哪些盒子，才能使价格尽可能地大，而保持重量小于或等于15 kg？图片源自：维基百科-背包问题

随着面试算法岗位的人数不断增多，背包问题也不像当初那样“天真无邪”，如今也是 “套路” 满满。0-1背包，多重背包，完全背包等背包问题，经历大厂面试官变题型、换表达、改套路之后，让无数面试者短时间内无法找到问题需求，内心os“这题想干嘛？”。很多人都在背包问题上，跪了......

图片源自：谷歌图片搞笑表情包

背包问题看起来是个简单的数学问题，但背后的算法逻辑相当复杂，短时间分析不出来，基本上就凉凉了。很多人在面试过程中可能就是因为没有做出一道背包问题，而被大厂拒之门外。如何才能快速掌握背包问题的解题套路，成为大厂offer收割机呢？

跟人邮君一起快速掌握“背包问题”解题技巧，go！

什么背包问题？

背包问题（Knapsack problem）是一种组合优化的NP完全问题。

问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。

相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V。

背包问题有哪些？

背包问题分为以下五种：

1. 0-1背包问题
2. 多重背包问题
3. 完全背包问题
4. 分组背包问题
5. 混合背包问题

学习背包问题有什么作用？

背包问题是互联网公司最常见的算法面试题，由于其代码量较小而思维量较大的特点而深受面试官的钟爱。此外，背包问题是学习动态规划的基础，是动态规划入门阶段必须要熟练掌握的问题。这也是为什么背包问题日渐成为大厂面试高频题中的“佼佼者”的原因所在。熟练掌握0-1 背包，多重背包，完全背包等背包问题的解法，可以加深初学者对于动态规划中状态的理解。

0-1背包问题

问题描述

给定n个物品的权重和值，将这些物品放在容量为W的背包中，以在背包中获得最大的总价值。换句话说，给定两个整数数组value[0..n-1]和weight[0..n-1]，它们分别表示与n个项目相关联的值和权重。还给定代表背包容量的整数W，找出val[]的最大值子集，以使该子集的权重之和小于或等于W。本题中value[]={60,100,120}，weight[]={10,20,30},

W=50。

解题方法

方法1：通过蛮力算法或穷举搜索进行递归。

方法：一种简单的解决方案是考虑所有项目子集，并计算所有子集的总重量和价值。仅考虑总权重小于W的子集。从所有此类子集中，选择最大值子集。

最佳子结构：要考虑项目的所有子集，每个项目可能有两种情况。

1. 情况1：该项目包含在最佳子集中。
2. 情况2：该商品未包含在最佳组合中。

因此，可以从n个项目中获得的最大值是以下两个值中的最大值。

1. 通过n-1个项和W权重（不包括第n个项）获得的最大值。
2. 第n个项目的值加上n-1个项目获得的最大值，W减去第n个项目（包括第n个项目）的权重。

如果第n个项目的权重大于 W，则第n个项目不能包括在内，情况1是唯一的可能性。

下面是上述方法的python代码实现

def knapSack(W, wt, val, n):
    # Base Case
    if n == 0 or W == 0:
        return 0
    # If weight of the nth item is
    # more than Knapsack of capacity W,
    # then this item cannot be included
    # in the optimal solution
    if (wt[n-1] > W):
        return knapSack(W, wt, val, n-1)
    # return the maximum of two cases:
    # (1) nth item included
    # (2) not included
    else:
        return max(
            val[n-1] + knapSack(
                W-wt[n-1], wt, val, n-1),
            knapSack(W, wt, val, n-1))
# end of function knapSack
#Driver Code
val = [60, 100, 120]
wt = [10, 20, 30]
W = 50
n = len(val)
print knapSack(W, wt, val, n)

复杂度分析

• 时间复杂度： O（ ）。

由于存在多余的子问题。

• 辅助空间： O（1）。

由于没有额外的数据结构用于存储值。

方法2：通过自下而上的方式构造临时数组K[][]，可以避免重新计算相同子问题。

方法：在动态编程中，我们将考虑与递归方法中提到的情况相同的情况。在DP[][]表中，让我们将从1到W的所有可能的权重视为列，并将权重保留为行。考虑到从1到第i的所有值，状态DP[i][j]将表示j-weight的最大值。因此，如果我们考虑wi（ith行中的权重），则可以将其填充到weight value> wi的所有列中。

现在可以发生两种可能性：

• 在给定的列中填写wi。
• 不要在给定的列中填写wi。

现在，我们必须最大限度地考虑这两种可能性，形式上，如果我们不在jth列中填充ith权重，则DP[i][j]状态将与DP[i-1][j]相同，但是如果我们填充权重，则DP[i][j]将等于wi的值+上一行中权重为j-wi的列的值。因此，我们将这两种可能性中的最大值用于填充当前状态。

下面是上述方法的python代码实现：

def knapSack(W, wt, val, n):
    K = [[0 for x in range(W + 1)] for x in range(n + 1)]
    # Build table K[][] in bottom up manner
    for i in range(n + 1):
        for w in range(W + 1):
            if i == 0 or w == 0:
                K[i][w] = 0
            elif wt[i-1] <= w:
                K[i][w] = max(val[i-1]
                          + K[i-1][w-wt[i-1]], 
                              K[i-1][w])
            else:
                K[i][w] = K[i-1][w]
 
    return K[n][W]
# Driver code
val = [60, 100, 120]
wt = [10, 20, 30]
W = 50
n = len(val)
print(knapSack(W, wt, val, n))

复杂度分析

• 时间复杂度： O（N * W）。

其中N是重量元素的数量，W是容量。对于每个重量元素，我们遍历所有重量容量1 <= w <= W。

• 辅助空间： O（N * W）。

使用大小为“N * W”的二维数组。

方法3：使用记忆技术。

方法：此方法基本上是递归方法的扩展，因此我们可以克服计算冗余案例的问题，从而增加了复杂性。我们可以通过简单地创建一个二维数组来解决这个问题，如果我们第一次得到它，它可以存储一个特定的状态（n,w）。现在，如果我们再次遇到相同的状态（n,w），而不是以指数复杂度进行计算，我们可以直接以固定时间返回存储在表中的结果。在此方面，此方法相对于递归方法具有优势。

下面是上述方法的python代码实现

val = [60, 100, 120 ]
wt = [10, 20, 30 ]
W = 50
n = len(val)
# We initialize the matrix with -1 at first.
t = [[-1 for i in range(W + 1)] for j in range(n + 1)]
  
def knapsack(wt, val, W, n):
    # base conditions
    if n == 0 or W == 0:
        return 0
    if t[n][W] != -1:
        return t[n][W] 
    # choice diagram code
    if wt[n-1] <= W:
        t[n][W] = max(
            val[n-1] + knapsack(
                wt, val, W-wt[n-1], n-1),
            knapsack(wt, val, W, n-1))
        return t[n][W]
    elif wt[n-1] > W:
        t[n][W] = knapsack(wt, val, W, n-1)
        return t[n][W]
print(knapsack(wt, val, W, n))

复杂度分析：

• 时间复杂度： O（N * W）。

由于避免了状态的冗余计算。

• 辅助空间： O（N * W）。

使用2D数组数据结构存储中间状态。

推荐阅读

趣学算法

陈小玉 著